賭徒迷信的是運(yùn)氣，賭場相信的是數(shù)學(xué)

(資料圖片)

賭王何鴻燊接手葡京賭場時(shí)，業(yè)務(wù)蒸蒸日上，但理性的賭王仍然忐忑，請教“賭神”葉漢：“如果這些賭客總是輸，長此以往，他們不來了怎么辦？”葉漢笑道：“一次賭徒，一世賭徒，他們擔(dān)心的是賭場不在怎么辦。”

葉漢說的只是心理層面，現(xiàn)代賭場程序方面的設(shè)計(jì)，比葉漢當(dāng)年要縝密得多，賭場集中了概率、級數(shù)、極限方面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。一個(gè)普通賭徒，只要長久賭下去，最終一定會(huì)血本無歸，所謂的各種致勝絕技，除了電影里的周星星，現(xiàn)實(shí)里的周星馳都不信。

賭徒永遠(yuǎn)不明白，與自己對賭的不是運(yùn)氣，也不是莊家，他們是在與狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的大師對決數(shù)學(xué)，贏的勝率能有多大？

看得到的是概率、看不見的是陷阱

我們先說一個(gè)最簡單的賭博游戲：賭運(yùn)氣猜硬幣。

規(guī)則是這樣的，擲硬幣，正面贏反面輸，贏了可以拿走一倍的錢，輸了會(huì)賠掉本金，你玩不玩？你可能覺得，唉，這游戲不錯(cuò)，公平！恰好運(yùn)氣也不錯(cuò)，第一把贏了100元！你高興壞了，這時(shí)候莊家跟你說，你看你也贏了這么多，我呢，辛辛苦苦搭個(gè)場子，最后什么都沒撈著，要不這樣，你贏了，就給我留下2％，就算是救濟(jì)救濟(jì)老哥，給捧捧場！你一聽，2％，才這么點(diǎn)，拿去吧，不差錢！好了，這事就這么定下來了。

然而你做夢都想不到的是：就是這小小的2％，最后卻讓你輸?shù)脙A家蕩產(chǎn)、家破人亡。

這小小的2個(gè)點(diǎn)的贏的概率貌似不起眼，但配上“大數(shù)法則”，就成為了賭場賺錢的利器！“大數(shù)法則”是數(shù)學(xué)家伯努利提出來的，說的是假設(shè)n(a)是n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生a的次數(shù)，p是每次實(shí)驗(yàn)發(fā)生a的概率，當(dāng)n足夠大的時(shí)候，對任意正數(shù)ε，有l(wèi)im{[|(n(a)/n)| p]<ε}=1，公式這么復(fù)雜，99%的賭徒都看不懂，看不懂沒關(guān)系，我們只看結(jié)果，最終莊家贏到的錢=0.02*a。

莊家賺的錢最終只跟玩家下注大小有關(guān)！這也就是我們常說的“流水”，只要玩家不停地玩，莊家就會(huì)不停地賺！而不管玩家是輸是贏，莊家始終是贏的！為什么賭場有“最小投注額”，因?yàn)閿U(kuò)大“流水”才能將利潤最大化！

所以別以為自己有多聰明，你要慶幸自己玩得不夠久而已，十賭九輸正源于此。

只要進(jìn)了賭場你就是一個(gè)窮鬼

我們再進(jìn)一步，就算雙方的概率均等，你仍然是一個(gè)輸家，這里涉及到“無限財(cái)富”和“賭徒輸光定律”，這個(gè)定理在現(xiàn)實(shí)生活中有許多應(yīng)用，如“姓氏消亡”“線粒體夏娃假說”，在概率均等的情況下，誰的資本大，誰的贏率高。

你和我對賭，你我各有5塊錢，輸光為止。那么你贏的概率是50%，輸?shù)母怕室彩?0%。

你和我對賭，你有5塊錢，我有10塊錢，輸光為止，那么你贏的概率就只有33.3%，而輸?shù)母怕视?6.7%（這里涉及到高斯的概率論和泰勒的級數(shù)論），后面隱藏的就是賭場大BOSS凱利公式，后面小節(jié)里將詳加表述。

對于小散戶，賭場一般可以認(rèn)為財(cái)富是無限多的，你贏不垮它，它卻能吃了你。在賭場老板的眼里，世界只有兩種人：一種現(xiàn)在是窮鬼，一種未來是窮鬼。

“無限財(cái)富定律”也解釋了賭場設(shè)置最大投注額原因。不是老板好心保護(hù)賭徒免遭破產(chǎn)，只是老板為了保護(hù)自己設(shè)置的安全屏障，想象下萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個(gè)幾百億進(jìn)去，那賭場老板真的要哭了，雖然這種事情不太可能發(fā)生，但也不能不防，所以賭場根據(jù)自己的財(cái)富能力設(shè)計(jì)最高投注額，也就是為了抵抗“無限財(cái)富定理”！

賭場大BOSS凱利公式：先告訴你怎么下注

其實(shí)公式的作者，凱利，并不是一個(gè)資深賭徒，而是一位著名的物理學(xué)家，他發(fā)明這個(gè)公式的時(shí)候正是著名貝爾實(shí)驗(yàn)室 中的一名研究科學(xué)家，研究方向是當(dāng)時(shí)還算新興前沿的電視信號傳輸協(xié)議。

講公式前再賣個(gè)關(guān)子，先來看一場賭局：

假設(shè)您有100美金進(jìn)行一項(xiàng)拋硬幣游戲——如果硬幣為正面，您1美元就贏2美元；如果硬幣為反面，您就輸1美元。您每次該投入本金的百分之多少來獲得收益的最大化呢？

我本人的第一感覺是——不會(huì)吧，這也會(huì)有答案，其實(shí)就這樣一個(gè)看似無解的問題，凱利公式告訴您：25%。

那么，凱利公式(Kelly formula)究竟是什么?

f*=（bp-q)/b

b = 賠率（賠率＝期望盈利÷可能虧損=2美元盈利÷1美元虧損，賠率就是2了）

p = 成功概率（拋硬幣正反面都是50%的概率）

q = 失敗概率 （也就是 1-p，賭局中也是50%了 ）

以上面游戲?yàn)槔?jì)算過程就是(bp-q)÷ b =(2 * 50%-50%)÷ 2= 25%。

從公式我們可以獲得我們投資的一點(diǎn)啟發(fā)：

只有出現(xiàn)贏面(bp - q)為正的時(shí)候，游戲才可以下注，這是一切賭戲和投資最基本的道理，也就是前面講的"沒有把握，決不下注"。

贏面還要除以"b"才是投注資金比例。也就是說贏面相同的情況下，賠率越小越可以多押注。如果不理解這句話，我們看看例子：

用凱利公式我們知道"小博大"游戲只能押總資金的4%，但是按大部分人的賭性，恐怕會(huì)選"小博大"游戲，而且重倉甚至show hand吧？但是，理性的選擇應(yīng)該是"大博小"，因?yàn)樗於嗔耍驗(yàn)榭梢杂?0%的倉位！所以，說到這，我們投資股票的時(shí)候如果想增大短期倉位可能最優(yōu)的選擇就是考慮一下重倉波動(dòng)性小但是上漲概率大的大盤股，而對于波動(dòng)劇烈的小盤股，我們必須保留低倉位運(yùn)作。

他可靠么？我想這個(gè)世界上已經(jīng)有一大群數(shù)學(xué)家的論據(jù)來支持這個(gè)最優(yōu)答案，我們這就簡單以廣發(fā)證券的一張圖來消除大家的疑慮吧(題目略，圖中一共五組選項(xiàng)，紅色曲線的10%自然就是凱利公式算出來的答案)

金融圈中最著名的一個(gè)數(shù)學(xué)公式

其實(shí)，投資就像一場賭博，我們知道獲勝的公式=獲勝概率*操作次數(shù)*參與倉位。而要說金融圈最著名的人，巴菲特一定在其中；要說金融圈最著名的一個(gè)公式，凱利公式(Kelly formula)一定在其中，而且，巴菲特也用過它來管理資金哦。那我們也嘗試把凱利公式應(yīng)用到我們的策略吧：

假如我們能找到一種盈利模式，這里就舉例我們最熟悉的追漲停板策略吧，在一只個(gè)股即將漲停的時(shí)候買入，假設(shè)你是超級高手，你每次打板都能盈利，那么你的成功概率就是100%；假設(shè)你是剛?cè)胧械男率郑?0次打板9次虧，那么你的成功概率就是10%。我們按照10%~100%的不同成功概率進(jìn)行分檔，每隔10%劃分為一檔。

我們來看看市場好的時(shí)候：

凱莉公式的計(jì)算結(jié)果顯示，市場好的時(shí)候，如果真的追漲停有4個(gè)漲停板的盈利，那么，只要你有30%的把握就可以出手了。

我們再來看看市場差的時(shí)候：

這里凱利公式告訴我們，市場差的時(shí)候，除非你能有80%的獲勝信心，不然還是不要隨意輕易出手。

如果您覺得上面的公式有點(diǎn)復(fù)雜，那要不考慮一下巴菲特版的凱利公式吧(網(wǎng)傳節(jié)選自《巴菲特的投資組合》)：

X=2p-1

p=成功的概率

X=投入的資金百分比

簡單吧，還是以上面的例子做案例，如果市場差的，有一個(gè)80%概率打板盈利的投資機(jī)會(huì)，那么就買入2 * 80% - 1 = 60%的股票倉位，如果有一個(gè)100%盈利的投資機(jī)會(huì)，那么就全倉吧，所以，巴菲特版的公式思維更簡單，只是似乎比原版進(jìn)取些，因?yàn)楹雎粤速r率的影響。

如果您要加入止損位，那么可以把公式優(yōu)化成：

f*=(b*(1+p)-1)÷(b*止損幅度)

除了100%贏，任何時(shí)候都不應(yīng)下注

所有的賭場游戲，幾乎都是對賭徒不公平的游戲。

但這種不公平并非是莊家出老千，現(xiàn)代賭場光明正大地依靠數(shù)學(xué)規(guī)則賺取利潤，從某種意義上來講，賭場是最透明公開的場所，如果不是這樣，進(jìn)出賭場不知有多少狂命之徒，何鴻燊早怕九條命都不夠。

凱利公式不是憑空設(shè)想出來的，這個(gè)數(shù)學(xué)模型已經(jīng)在華爾街得到驗(yàn)證，除了在賭場被奉為正神，也被稱為“資金管理神器”，是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛，巴菲特依靠這個(gè)公式也賺了不少銀子。

1955年6月，美國出現(xiàn)了一個(gè)極其有名的電視節(jié)目，叫做64000 dollar question。答題者通過不斷答對題來累積獎(jiǎng)金，一時(shí)風(fēng)靡全美，黃金時(shí)段收視率達(dá)到85%，各路山寨節(jié)目不斷。這樣一個(gè)問答秀迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。這檔節(jié)目的錄制是在紐約，東海岸現(xiàn)場直播，而西海岸則有延時(shí)。當(dāng)時(shí)的新聞爆出一些丑聞，有關(guān)西海岸的賭徒通過電話提前得知結(jié)果，趕在了西海岸直播前下注。

凱利看了新聞之后，他想到這個(gè)如何使具備一定內(nèi)幕消息但是同時(shí)有一部分雜音的賭徒最大化長期獲益的問題，可以使用他們實(shí)驗(yàn)室關(guān)于咨詢學(xué)和噪音傳遞研究的公式來解決。于是，他以一個(gè)賽馬的模型，推出了凱利公式的雛形。

凱利的理論是這樣的，對于有一定內(nèi)幕消息的賽馬人來說，第一個(gè)自然的想法當(dāng)然是放入全部的資金，但是這樣就會(huì)造成萬一輸?shù)粞緹o歸的慘境。而在凱利想要解決的這個(gè)問題中，在任何一個(gè)時(shí)刻輸?shù)羧抠Y金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。

真正應(yīng)該關(guān)心的是長期累積的收入，對于累積的收益來說，最后的結(jié)果只和輸贏的局?jǐn)?shù)有關(guān)，而和輸贏的順序無關(guān)。所以他推出了一個(gè)最佳的投入倉位比，來最大化長期的累積收益：

bet = edge / odds = 預(yù)期獲益／獲益回報(bào)

edge=bp-q

這里的edge 在賭博中可以理解為 獲勝的概率＊賠率 - 失敗的概率，也就是上文提到的贏面。當(dāng)edge的數(shù)字為正的時(shí)候，這就是值得下注的比賽，而edge為0或者負(fù)數(shù)的情況說明賭徒不具備edge, 不應(yīng)該下注。

而odds則是賠率，我們更可以把它理解為一種公眾對概率的估計(jì)，是公開的消息。

我們可以用凱利模擬這樣一種情況：小明現(xiàn)在有100元的起始資金，他現(xiàn)在將要投硬幣4次，每一次他投出硬幣為正面的時(shí)候，將獲得6倍資金回報(bào)(1陪5)，當(dāng)他投出硬幣為反面，陪光。請問小明要如何分配每次下注資金，才能最大化他4次投幣之后的收益呢？

根據(jù)凱利公式計(jì)算，我們可以建立起這樣一個(gè)正反面的概率各為50%，edge = 0.5*5-0.5 = 2, odds為5，最佳倉位為40%，可以看到最終在16個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果中(4次投擲)，12.96和8100出現(xiàn)1次，64.8和1620出現(xiàn)4次，324出現(xiàn)6次，16次結(jié)果的收益為324。凱利公式的目的正是最大化這些結(jié)果的收益。

由于凱利公式著眼于長期回報(bào)率和風(fēng)險(xiǎn)的控制，所以天然就吸引投資人想要把它應(yīng)用在投資當(dāng)中。比如著名的傳奇數(shù)學(xué)家Edward Thorp讀了凱利的論文之后，先是自學(xué)Fortran用IBM大型機(jī)開發(fā)了一套專門用于21點(diǎn)的算法(感興趣的同學(xué)可以去看下電影21，電影里的card counting的方法正是獲得edge的來源），帶上凱利的導(dǎo)師在拉斯維加斯大把吸金。

結(jié)語：贏得勝利的唯一法則：不賭

沒有誰能說服一個(gè)墮落的賭徒，因?yàn)檫@是人格的缺陷。

但如果你還是一個(gè)具有理性精神的人，別再迷戀所謂的運(yùn)氣。

賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場后面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的大神。

你怎么可能贏得了莊家？

論理性，沒有人能比賭場老板更理性。

論數(shù)學(xué)，沒有人能比賭場老板請的專家更精通數(shù)學(xué)。

論賭本，沒有人能比賭場老板的本錢更多。

如果你想真正贏得這場賭局，法則只有一個(gè)：不賭。

$招商銀行(SH600036)$

$貴州茅臺(SH600519)$

$中國平安(SH601318)$

關(guān)鍵詞： 賭場老板 成功概率 投資機(jī)會(huì)