賭神和股神——凱利公式、夏普比率的應用

2023-04-25 12:16:56 來源:雪球網

愛德華·索普通過計牌估算概率,同時運用凱利公式計算下注比例“勝算大的時候多下注,勝算小的時候少下注”吊打拉斯維加斯的各個賭場,著名的索普公式也就是凱利公式在21點的應用。


(資料圖片)

我們用一個簡單的例子來理解,比如當你有51%的勝算的時候,贏一局資金翻倍,那么100局里你獲勝51局,就能獲得102美元,這是你的優勢,也就是你的利潤除以你的本金,也就是2%。根據索普的規劃,如果你能確認你存在2%的優勢,那么你每局就應該下注本金的2%。用凱利公式來理解就是f* = (bp - q) / b=(1*51%-49%)/1=2%,即每局的最優下注比例為本金的2%。(下文將對凱利公式做詳細介紹)

之后愛德華索普又發明了團隊作戰的策略。團隊作戰一般是5個人,大家會通過通信工具來溝通自己桌子的情況,也就是說賠率會在5個不同的桌子上出現。這時候每一次下注,大家只需要在賠率最高的桌子上,下最大的賭注,就能將獲勝的概率最大化。很快,愛德華·索普戰勝了每一個賭場的21點桌。

1956年,科學家凱利在內部期刊發表了一篇原標題叫《信息論與賭博》的論文,提出了著名的凱利公式(公式如下)。文中凱利以賭徒視角,思考如何合理押注才能讓資產得到最大指數的增長,也就是最優下注比例的問題

我們通過一個例子來理解:假設總賭本10,000美元,玩家取勝的概率是51%,賠率1:1,那么凱利公式給出的最佳賭注是:$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200。通過公式可以很快速的計算出最佳下注比例,但最重要的不在于帶公式計算數字,而是要弄明白公式背后真正的含義。

公式的分子bp - q代表“贏面”,也就是數學中的“期望值”。從公式我們也可以直觀的理解,只有分子是正數,f*才能是正數,也就是說只有期望值是正的時候才可以下注,這是一切賭博和投資最基本的道理。

但值得注意的是,凱利公式應用在賭戲中有個可能會被忽略的假設,那就是虧損時押注賠光(預期負收益率L=100%)。 但資本市場的投資通常沒有這么慘,所以這個公式放在投資中應用時,需要稍做調整,調整后最佳投入比例為:f*=(pW-qL)/(W*L),其中,f* = 投注金額占總資金的比例,p = 獲勝的概率,q = 失敗的概率,W = 正收益率;L = 負收益率。

那么如果找到找到期望值為正數的投資,為了實現長期的最大收益,我們是不是應該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金,甚至達到100%?顯然這是不合理的,因為一旦哪一次賭博賭輸了,那么所有的本金就會全部輸光,再也不能參加下一局,只能黯然離場。而從長期來看,賭輸一次這個事件必然發生,所以說長期來看必定破產。

所以這里就得出了一個結論:只要一個賭局存在一下子把本金全部輸光的可能,哪怕這個可能非常的小,那么就永遠不能滿倉。因為長期來看,小概率事件必然發生,而且在現實生活中,小概率事件發生的實際概率要遠遠的大于它的理論概率,這就是金融學中的肥尾效應

公式的分母b為賠率,b為正數f*才能是正數。公式里贏面還要除以“b”才是投注資金比例,也就是說贏面相同的情況下,賠率越小越可以多押注,我們還是用例子來說明更為直觀。

“小博大”:勝率20%,贏了1賠5,輸了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%

“中博中”:勝率60%,1賠1,輸了全光。bp - q = 1*60% - 40% = 20%

“大博小”:勝率80%,1賠0.5,輸了全光。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%

三個游戲的數學期望值一樣,都是20%,如果押100元平均贏20元。但是用凱利公式中的“b”一除,算出來的最佳投資比例f*,也就是能讓資產得到最大指數增長的比例,“小博大”f* =20%/5=4%,“中博中”f* =20%/1=20%,“大博小”f* =20%/0.5=40%,“大博小”的最優下注比例是最大的,也就是在期望值為正數前提下,贏面相同的情況時,波動小的,越可以多押注。

凱利公式指出:贏面大、波動性小的游戲可以押較大賭注。那么如何量化“贏面大,波動性小”呢?1966年威廉·夏普提出了著名的指標:夏普比率,收益期望風險兩方面評估投資機會的優劣,也就是解決如何挑選“游戲”的問題。

夏普比率代表投資人每多承擔一單位風險,可以拿到幾單位超額報酬;若為正值,代表標的報酬率高過波動風險;若為負值,代表標的操作風險高過報酬率。它表示投資回報與多冒風險的比例,也就是夏普比率S越高,投資機會的“質量”越高。

舉個例子,假如國債的回報是3%,而標的基金投資組合預期回報是15%,標的基金投資組合的標準偏差是6%,那么用15%-3%,可以得出12%(代表標的基金超出無風險投資的回報),再用12%/6%=2,代表投資者風險每增長1%,換來的是2%的多余收益。

舉個例子:甲投資:超額回報期望10%,標準差20%,夏普比率為0.5

乙投資:超額回報期望5%,標準差5%,夏普比率為1

乍一看,甲投資回報期望高,似乎是比較好的機會。但投資不僅要考慮收益期望,更要考慮風險,通過夏普比率計算出的多冒風險可獲得的投資回報甲是0.5,而乙是1,也就意味著乙投資于甲投資相比,乙投資用1個單位的“風險”能換取更多的回報期望。

不論是賭博還是投資存在概率,事實上二者是相通的。因此,凱利公式也被巴菲特,查理芒格和比爾格羅斯引用了無數回。

首先,定增市場是千億級別的市場,并且隨著上市公司總數以及上市公司定增融資需求的增多,募集金額呈現增長趨勢,可以容納大量大資金,滿足我們對可容納資金體量的要求。

再來定增在勝率和賠率上具備優勢。我們統計了定增實行以來全市場的全部數據,得出定增舊規的勝率為57%,賠率3.01,期望值1.29;定增新規的勝率64%,賠率3.2,期望值1.67。不論是舊規還是新規勝率都高于50%,賠率都超過3倍,期望值為正數。從凱利公式的角度看,定增的勝率、賠率、期望值都無可挑剔,是一項重復下來“久賭必贏”的投資。

既然定增是一項重復下來“久賭必贏”的投資,那么是不是根據凱利公式就能賺錢嗎?不是的!凱利公式只是讓你在最小風險下,來合理分配投資比例。不僅需要期望值必須為正值,還要求單次下注的勝率和賠率必須是固定的。受到不同定增項目質地和折扣的影響,定增中的單個項目勝率和賠率(也就是收益情況)不是固定的。因此,凱利公式應用在定增市場中更加應該關注的是期望值的趨勢變化。

鑫鑫投資從2011年開始專注參與定增至今獲得了遠超市場的收益,其中定增舊規的勝率65.2%,賠率11.08,期望值6.88,總收益52.9%;定增新規的勝率56.9%,賠率3.88,期望值1.78,總收益13.9%。

作為領先的機構投資者要求我們:業績好,年化高,回撤少,也就是夏普比率理論上要挑選出的相對低風險和高回報“高性價比”投資。

嘗試從夏普比率的角度評估下我們不同的產品的“性價比”。從走勢波動上看,鑫鑫一號和鑫鑫三號由于凈值計算方式不同,因此鑫鑫一號的夏普比率相較于鑫鑫三號穩定。從數值上看,鑫鑫一號的夏普比率常年在1左右,而鑫鑫三號的夏普比率更多集中在0.5左右。

$寒武紀-U(SH688256)$$昆侖萬維(SZ300418)$$中科曙光(SH603019)$

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